Menentukan Kedudukan Garis Terhadap Suatu Parabola

Terdapat tiga kemungkinan posisi/kedudukan garis terhadap parabola, pertama mememotong parabola di dua titik, kedua memotong pada bola di satu titik atau menyinggung parabola, dan ketiga tidak memotong maupun menyinggung parabola.

Seperti yang sudah dijelaskan sebelumnya bahwa ada tiga kemungkinan kedudukan suatu garis terhadap parabola yaitu memotong di dua titik, menyinggung, dan tidak memotong maupun menyinggung parabola. Ketiga kondisi tersebut sanggup digambarkan sebagai diberikut

Untuk menentukkan kedudukan garis terhadap suatu parabola, sanggup dilakukan dengan melaksanakan langkah-langkah sebagai diberikut:

1. Substitusi persamaan garis ke dalam persamaan parabola, dari hasil substitusi tersebut akan diperoleh persamaan kuadrat.
2. Kemudian tentukan nilai diskriminan dari persamaan kuadrat tersebut

Kedudukan suatu garis terhadap parabola ditentukan dengan nilai diskriminan $(D = b^2 - 4ac)$ sebagai diberikut

$D > 0$, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan
$D = 0$, maka garis menyinggung parabola
$D < 0$, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola

Untuk lebih jelasnya, perhatikan pola soal  diberikut!

misal 1
Tentukan kedudukan garis $x - y + 2 = 0$ terhadap parabola $x^2 - y = 0$!
Penyelesaian
$x - y + 2 = 0$
$y = x + 2$

Substitusi $y = x + 2$ ke $x^2 - y = 0$
$x^2 - (x + 2) = 0$
$x^2 - x - 2 = 0$

$D = (-1)^2 - 4(1)(-2) = 9 (D > 0)$, maka garis memotong parabola pada dua titik

Selain kedudukan dalam beberapa kasus, kita akan dihadapkan pada soal yang meminta kita untuk memilih titik potong atau titik singgung suatu garis. Untuk memilih titik potong atau titik singgung garis pada suatu parabola, sanggup dilakukan dengan memilih akar-akar dari hasil substitusi persamaan garis ke persamaan parabola. Kemudian, dilanjutkan dengan memilih nilai variabel yang lain dengan memakai metode substitusi ke persamaan garis.

Maka dari itu persamaan kuadrat hasil substitusi menjadi sangat penting baik dalam memilih kedudukan garis maupun titik potong/titik singgungnya. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola soal diberikut

misal 2 
Tentukan kedudukan garis $2x - y + 3 = 0$ terhadap parabola $2x^2 - 4x - y + 7 = 0 $ serta tentukan titik potong atau singgung garis jikalau garis tersebut memotong atau menyinggung parabola
Penyelesian
$2x - y + 3 = 0$
$y = 2x + 3$

Substitusi $y = 2x + 3$ ke $2x^2 - 4x - y + 7 = 0 $
$2x^2 - 4x - (2x + 3) + 7 = 0 $
$2x^2 - 4x - 2x - 3 + 7 = 0 $
$2x^2 - 6x + 4 = 0 $
$x^2 - 3x + 2 = 0 $
$D = (-3)^2 - 4(1)(2) = 1$ $(D > 0)$, maka garis memotong parabola pada dua titik

Titik potongnya
$x^2 - 3x + 2 = 0 $
$(x - 1)(x - 2) = 0 $
$x = 1$ atau $x = 2$
Untuk $x = 1$
$y = 2(1) + 3 = 5$ $(1, 5)$
Untuk $x = 2$
$y = 2(2) + 3 = 5$ $(2, 7)$
Jadi, titik potong garis dengan parabola ialah $(1, 5)$ dan $(2, 7)$

Agar lebih terampil dalam memecahkan masalah/soal-soal keduduakn garis terhadap parabola, diberikut ini akan disajikan pola soal beserta pembahasan lainnya terkait keduduakn garis terhadap parabola

misal 3
Tentukan nilai k semoga garis  $x - y - k = 0$ dan parabola $y^2 =  2x - 4$ bersinggungan!
Penyelesaian
$x - y - k = 0$
$y = x - k$

Substitusi $y = x - k$ ke $y^2 =  2x - 4$
$(x - k)^2 =  2x - 4$
$x^2 - 2kx + k^2 = 2x - 4$
$x^2 - 2kx + k^2 - 2x + 4 = 0$
$x^2 - 2kx - 2x + k^2 + 4 = 0$
$x^2 -(2k - 2)x + (k^2 + 4) = 0$

Syarat garis menyinggung parabola $D = 0$
$b^2 - 4ac = 0$
$(-(2k - 2))^2 - 4(1)(k^2 + 4) = 0$
$4k^2 - 8k + 4 - 4k^2 - 16 = 0$
$ - 8k - 12 = 0$
$-8k = 12$
$k = \frac{12}{-8}$
$k = -\frac{3}{2}$
Jadi, semoga $x - y - k = 0$ menyinggung parabola $y^2 =  2x - 4$ nilai k ialah $- \frac{3}{2}$

misal 4
Sebuah parabola yang berpuncak di P(3, 0) dan memiliki serius di F(4, 0). Tunjukkan bahwa parabola tersebut bersinggungan dengan garis $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$!
Penyelesaian
Langkah pertama untuk menuntaskan misal 4 ini ialah dengan menentukan persamaan parabolanya
A(3, 0)
F(4, 0) ini berarti p = 4 - 3 = 1
Persamaan parabolanya
$(y - b)^2$ = $4p(x - a)$
$(y - 0)^2$ = $4(1)(x - 3)$
$y ^2$ = $4x - 12$

Substitusi $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$ ke $y ^2$ = $4x - 12$
$(\frac{1}{2}x + \frac{1}{2})^2$ = $4x - 12$
$\frac{1}{4}x^2 + \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}$ = $4x - 12$
$x^2 + 2x + 1 = 16x - 48$
$x^2 + 2x + 1 - 16x + 48 = 0$
$x^2 - 14x + 49 = 0$

Syarat garis menyinggung parabola $D = 0$
$D = b^2 - 4ac$
$D = (-14)2 - 4(1)(49)$
$D = 196 - 196$
$D = 0$
Jadi, terbukti jikalau parabola bersinggungan dengan garis $y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2}$

misal 5
Tentukan batas-batas nilai p semoga garis $y = px + 1$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y^2 = 2x$!
Penyelesaian
Substitusi $y = px + 1$ ke $y^2 = 2x$
$(px + 1)^2 = 2x$
$p^2 x^2 + 2px + 1 = 2x$
$p^2 x^2 + 2px + 1 - 2x = 0$
$p^2 x^2 + 2px - 2x + 1 = 0$
$p^2 x^2 + (2p - 2)x + 1 = 0$

Agar garis tidak memotong maupun menyinggung parabola maka $D < 0$
$b^2 - 4ac < 0$
$(2p - 2)^2 - 4(p^2)(1) < 0$
$4p^2 - 8p + 4 - 4p^2 < 0$
$-8p + 4 < 0$
$-8p < -4$
$p > \frac{-4}{-8}$
$p > \frac{1}{2}$
Jadi, batas-batas nilai p semoga garis $y = px + 1$ tidak memotong maupun menyinggung parabola $y^2 = 2x$ ialah $p > \frac{1}{2}$

Demikianlah terkena menetukan kedudukan garis terhadap suatu parabola, semoga sanggup dipahami dan bermanfaa.

Subscribe to receive free email updates: