Geometri Transformasi: Dilatasi

Transformasi yang keempat dalam geometri transformasi ialah dilatasi. Istilah dilatasi tidak spesialuntuk dikenal dalam matematika. Dilatasi juga dikenal dalam bidang kesehatan serta dalam bidang arsitektur. Dalam ilmu kesehatan, dilatasi ialah pelebaran atau peregangan struktur tubular. misal dilatasi dalam bidang kesehatan ialah dilatasi pembuluh darah oleh obat-obatan yang dimaksudkan untuk menurunkan tekanan darah. Pada bidang arsitektur, dilatasi adalah sebuah sambungan/garis pada sebuah bangunan yang sebab sesuatu hal mempunyai sistem struktur tidak sama.

Dilatasi dalam matematika sering juga disebut dengan perkalian. Dilatasi adalah suatu transformasi yang merubah ukuran baik itu memperbesar atau memperkecil suatu bangun, namun tidak mengubah bentuk bangunnya. melaluiataubersamaini demikian dilatasi dikatakan sebagai transformasi non isometri tidak ibarat transformasi lainnya yaitu translasi, refleksi dan rotasi.

Dilatasi ditentukan oleh titik sentra dan faktor (faktor skala) dilatasi serta dilatasi mempunyai sifat-sifat sebagai diberikut

• Invers dari dilatasi AB --> A' B' ialah A' B' --> AB
• Dilatasi tidak mempertahankan ukuran, namun tetap mempertahankan urutan
• Hasil kali dilatasi ialah dilatasi yang dilanjutkan dengan dilatasi yang lain. melaluiataubersamaini demikian, hasil kali dilatasi AB--> A'B' dan A'B'--> A''B'' ialah dilatasi AB--> A''B''. Kaprikornus hasil kali dilatasi dengan inversnya ialah identitas AB-->AB
• Garis-garis yang menghubungkan suatu titik dan bayangannya disebut garis invariant. Garis-garis tersebut berpotongan pada satu titik atau sejajar

Faktor skala dalam dilatasi sering disimbolkan dengan "k" yang ialah perbandingan antara jarak titik bayangan dari titik sentra dilatasi dan jarak titik benda berkaitan dengan titik sentra dilatasi. Pada dilatasi suatu berdiri faktor skala k akan memilih ukuran dan letak berdiri bayangan. Berikut ialah nilai k yang dimaksud

1. Jika k > 1, maka  bayangan diperbesar dan letak dan posisinya sepihak dengan sentra dilatasi dan berdiri tiruanla.
2. Jika 0 < k < 1, maka berdiri bayangan diperkecil dan letak dan posisinya sepihak dengan sentra dilatasi dan berdiri tiruanla.
3. Jika -1 < k < 0, maka berdiri bayangan diperkecil dan letak dan posisinya berlainan pihak dengan sentra dilatasi dan berdiri tiruanla.
4. Jika k < -1, maka berdiri bayangan diperbesar dan letak dan posisinya berlainan dengan sentra dilatasi dan berdiri tiruanla.

Seperti yang sebelumnya sudah dijelaskan dilatasi dipengaruhi juga oleh titik sentra dilatasi. Berdasarkan pusatnya maka dilatasi sanggup dibedakan menjadi dua yaitu dilatasi terhadap titik sentra O(0, 0) dan A(a, b)

Dilatasi Terhadap Titik Pusat O(0, 0)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik sentra O(0,0) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = kx dan y' = ky. Secara matematis dilatasi tersebut sanggup ditulis

$P(x, y) \xrightarrow[]{[O, k]} P'(kx, ky)$

Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya sanggup ditulis

$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}= \begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x\\ y

\end{pmatrix}$

Dilatasi Terhadap Titik A(a, b)

Dilatasi titik P(x, y) terhadap titik A(a, b) akan menghasilkan bayangan titik P'(x', y') dimana x' = k(x - a) + a dan y' = k(y - b) + b. Secara matematis dilatasi tersebut sanggup ditulis

$P(x, y)$ $ \xrightarrow[]{[A(a, b), k]}$ $P'(k(x - a) + a, k(y - b) + b)$

Sedangkan, matriks yang bersesuaian dengan transformasinya sanggup ditulis

$\begin{pmatrix}
x'\\ y'

\end{pmatrix}$= $\begin{pmatrix}
k &0 \\
0 & k
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}
x - a\\ y - b

\end{pmatrix}$+$\begin{pmatrix}
a\\ b

\end{pmatrix}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan pola diberikut

misal 1

Tentukan bayangan titik (3, 9) oleh dilatasi [A(1, 5), 2]!
Penyelesaian

Karena sentra A(1, 5), maka

x' = k(x - a) + a

x' = 2(3 - 1) + 1

x' = 5

y' = k(y - b) + b

y' = 2(9 - 5) + 5

y' = 13

Jadi, bayangangannya ialah (5, 13)

misal 2

Bayangan kurva y = 3x$^{2}$ + 6x - 1 oleh dilatasi dengan sentra O(0, 0) dan faktor skala 3 ialah ...

Penyelesaian

Karena sentra O(0,0)maka

x' = kx

x' = 3x maka x = $\frac{1}{3}$x'

y' = ky

y' = 3y maka y =  $\frac{1}{3}$y'

Substitusikan x dan y ke dalam persamaan kurva

$\frac{1}{3}$ y' = 3$(\frac{1}{3}$x'$)^{2}$ + 6$\times$$\frac{1}{3}$x' - 1

$\frac{1}{3}$ y' = 3$\times$$\frac{1}{9}$x'$^{2}$ + 2x' - 1

$\frac{1}{3}$ y' = $\frac{1}{3}$x'$^{2}$ + 2x' - 1

y' = x'$^{2}$ + 6x' - 3

Jadi, bayangan kurva adalah y = x$^{2}$ + 6x - 3

Subscribe to receive free email updates: