Perkalian Skalar Dua Vektor

Jika sudah mengenal vektor, selanjutnya perkalian skalar dua vektor, ialah bahan penting yang perlu dipahami dalam mempelajari vektor. Perkalian skalar antara dua vektor ini akan memmenolong anda dalam memahami kedudukan atau sudut yang dibuat oleh dua vektor dan sangat akrab kaitanya dengan proyeksi ortogonal suatu vektor pada vektor lain.

Perkalian skalar antara vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ dilambangkan dengan $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$. Perkalian skalar (scalar product), ini sering juga dinamakan sebagai perkalian titik (dot product). Perkalian skalar dua vektor didefinisikan sebagai:

$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$

melaluiataubersamaini $|\vec{a}|$ dan $|\vec{b}|$ masing-masing menyatakan panjang vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$. Sedangkan $\theta$ menyatakan sudut lancip yang dibuat oleh kedua vektor. Untuk lebih jelasnya perhatikan pola diberikut

misal:
Panjang vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ berturut-turut yakni 4 dan 5 satuan. Jika kedua vektor membentuk sudut 60$^o$, hitunglah perkalian skalar antara vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$!

Penyelesaian
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=|\vec{a}||\vec{b}| cos \theta$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 4 \times 5 \times cos 60^{o}$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 4 \times 5 \times$ $\frac{1}{2}$
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 10$

Perkalian Skalar Dua Vektor dalam Bentuk Kolom

Perkalian skalar sanggup pula dilakukan dalam bentuk vektor kolom. Baik di R2 maupun di R3 caranya sama yaitu mengalikan elemen yang bersesuaian kemudian kesannya dijumlahkan. Misalkan $\vec{a}$ $ = \begin{pmatrix}
x_1\\y_1

\end{pmatrix}$ dan $\vec{b}$ $ = \begin{pmatrix}
x_2\\y_2

\end{pmatrix}$. Perkalian skalar antara kedua vektor tersebut adalah
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= \begin{pmatrix}
x_1\\y_1

\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}
x_2\\y_2

\end{pmatrix}$ $= x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2}$

Atau pada R3, misalkan $\vec{a}$ $=\begin{pmatrix}
x_1\\y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$ dan $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_2\\y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$. Perkalian skalar kedua vektor tersebut sanggup ditetapkan dalam
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_1\\y_1
\\ z_1

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $=\begin{pmatrix}
x_2\\y_2
\\ z_2

\end{pmatrix}$ $= x_{1}x_{2} + y_{1}y_{2} + z_{1}z_{2}$

Berikut ini pola soal untuk perkalian skalar dua vektor dalam bentuk kolom.

misal:
Misalkan dua vektor $\vec{p}$ $=\begin{pmatrix}
3\\-3
\\2

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
2\\1
\\ 3

\end{pmatrix}$. Tentukan perkalian skalar $\vec{p}$ dengan $\vec{q}$.

Penyelesaian
$\vec{p}$ $\cdot$ $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
3\\-3
\\2

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}
2\\1
\\ 3

\end{pmatrix}$ $= 3\times2 + (-3)\times1 + 2\times3$ $= 9$

Kedudukan Dua Vektor Berdasarkan Perkalian Skalarnya

Hasil dari perkalian skalar dua vektor kemungkinan akan menghasilkan bilangan positif, negatif, dan bahkan nol. melaluiataubersamaini mengetahui ini, kedudukan antara kedua vektor tersebut sanggup diketahui. Berikut ini yakni 5 kedudukan yang mungkin dari kedua vektor
1. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} > 0$, maka $cos\theta >0$ atau $0^{o}<\theta<90^{o}$. Dalam hal demikian, sudut yang dibuat oleh kedua vektor yakni sudut lancip
2. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = 0$, maka $cos\theta = 90^{o}$. Ini berarti kedua vektor saling tegak lurus (ortogonal).
3. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} < 0$, maka $cos\theta <0$ atau $90^{o}<\theta<180^{o}$. Keda vektor membentuk sudut tumpul.
4. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$, maka $cos\theta = 1$ atau $\theta = 0^{o}$. Kedua vektor saling diberimpit
5. Jika $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$, maka $cos\theta = -1$ atau $\theta = 180^{o}$. Kedua vektor berlawanan arah.

misal

Tentukan kedudukan dari vektor $\vec{a}$ $ = \hat{i} + 2\hat{j} + 4\hat{k}$ dan vektor $\vec{b}$ $= -2\hat{i} + 3\hat{j} +\hat{k}$.

Jawab

 $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 1\times(-2) + 2\times3 + 4 \times1$ $= 8$

$8 > 0$, ini berarti kedua vektor membentuk sudut lancip.

Dari kedudukan vektor tersebut, kita akan simpel memahami  teorema Ortogonalitas. Teorema ini menyatakan bahwa, dua vektor yang tidak nol dikatakan saling tegak lurus (ortogonal) kalau dan spesialuntuk kalau perkalian skalar dari kedua vektor kesannya nol.

misal
Diketahui dua vektor $\vec{p}$ $=\begin{pmatrix}
2\\-1
\\-3

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
k\\1
\\ 5

\end{pmatrix}$. Tentukan nilai k, kalau vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$ saling tegk lurus!

Penyelesaian

Karena saling tegak lurus maka
$\vec{p}$ $\cdot$ $\vec{q}$ $= 0$
$\begin{pmatrix}
2\\-1
\\-3

\end{pmatrix}$ $\cdot$ $\begin{pmatrix}
k\\1
\\ 5


\end{pmatrix}$ $= $$2\times k + (-1)\times1 + (-3)\times5$ $= 0$
$2k - 16$ $= 0$
$2k = 16$
$k = 8$
Jadi, nilai k = 8

Sifat-sifat Perkalian Skalar Dua Vektor

Perkalian skalar dua vektor mempunyai dua sifat utama, yaitu
Komutatif, $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ = $\vec{b}$ $\cdot$ $\vec{a}$
Distributif, $\vec{a}$ $\cdot$ $(\vec{b} + \vec{c})$ = $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ + $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{c}$

Sudut Antara Dua Vektor

Dari pekalian skalar dua vektor, sanggup juga ditentukan besar sudut diantara kedua vektor tersebut. Rumus untuk memilih sudut antara kedua vektor adalah
$cos\theta$ $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

Berikut ini yakni pola soal beserta pembahasan, penentuan sudut diantara dua vektor.
misal
Diketahui dua vektor $\vec{a}$ $=\begin{pmatrix}
2\\1
\\-3

\end{pmatrix}$ dan vektor $\vec{q}$ $=\begin{pmatrix}
-1\\3
\\ -2

\end{pmatrix}$. Tentukan sudut antara vektor $\vec{p}$ dan $\vec{q}$!

Penyelesaian
$\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ $= 2\times (-1) + 1\times3 + (-3)\times(-2)$ $ = 7$

$|\vec{a}|$ $=\sqrt{2^{2}+1^{2}+(-3)^{2}}$ $=\sqrt{14}$

$|\vec{a}|$ $=\sqrt{(-1)^{2}+3^{2}+(-2)^{2}}$ $=\sqrt{14}$

$cos\theta$ $=\frac{\vec{a}\cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

$cos\theta$ $=\frac{7}{\sqrt{14} \sqrt{14}}$

$cos\theta$ $=\frac{7}{14}$

$cos\theta$ $=\frac{1}{2}$

$\theta $ $=arc cos \frac{1}{2}$

$\theta$ $=60^{o}$

Demikianlah terkena perkalian skalar dua vektor biar bermanfaa

Subscribe to receive free email updates: