Deret Geometri Tak Sampai Dan Pola Soalnya

Deret geometri tak hingga ialah deret geometri yang penjumlaspesialuntuk hingga suku tak hingga. Deret geometri sendiri ialah deret yang mempunyai perbandingan suku-suku berurutan tetap atau yang lebih dikenal sebagai rasio. Selain deret geometri ada pula deret aritmetika, bedanya dengan deret geometri apabila deret geometri mempunyai rasio deret aritmetika mempunyai beda (b) yang ialah selisih suku yang berurutan dan akan bernilai tetap pada suku-suku yang berurutan lainnya.

Fokus kita pada bahasan kali ini yaitu terkena deret geometri tak hingga. Meskipun deret ini mempunyai suku mencapai tak hingga kita masih sanggup mencari jumlah keseluruhannya secara pasti. Namun, tidak tiruana deret geometri tak hingga sanggup kita tentukan jumlahnya. Dilihat dari rasionya (r) deret geometri tak hingga sanggup dibedakan menjadi dua yaitu deret geometri konvergen dan deret geometri tak hingga divergen

Rumus Jumlah Deret Geometri Tak Hingga

Sebelum mengulas terkena rumus jumlah deret geometri tak hingga, kita harus pahami terlebih lampau deret geometri tak hingga konvergen dengan deret geometri tak hingga divergen. Pada dasarnya keduanya mempunyai perbedaan pada rasionya. Deret konvergen mempunyai interval rasio -1 < r < 1 atau sanggup ditulis juga |r| < 1 (tanda mutlak r). Sedangkan deret divergen mempunyai rasio r < -1 atau r > 1 (|r | > 1).

1. Deret geometri tak hingga kovergen mempunyai rasio dengan interval -1 < r < 1 serta mempunyai limit jumlah (dapat dihitung jumlanya)
2. Deret geometri tak hingga divergen mempunyai rasio r < -1 atau r > 1, tidak mempunyai limit jumlah atau tidak diketahui berapa jumlah pastinya dan sering dikatakan jumlahnya tak hingga ($\infty$)

Dari klarifikasi di atas, kini akan dilanjutkan dengan bahasan terkena rumus deret geometri tak hingga konvergen. Misalkan U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + ....... ialah deret geometri tak hingga konvergen dimana -1 < r < 1, U$_{1}$ = a ialah suku pertamanya dan $S_{\infty}$ ialah jumlahnya maka
$S_{\infty} =  \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai -1 < r < 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan yang sangat kecil atau mendekati nol sehingga diperoleh
$S_{\infty} = \dfrac{a(1-0)}{1 -r}$
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 -r}$
Jadi, untuk memilih jumlah suatu deret geometri tak hingga konvergen sanggup memakai rumus

$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$

melaluiataubersamaini $S_{\infty}$ ialah jumlah deret geometri tak hingga, a yaitu suku pertama deret, dan r ialah rasio deret tersebut dengan syarat -1 < r < 1. Sedangkan pada deret divergen
$S_{\infty} =  \dfrac{a(1 - r^{n})}{1 - r}$
Karena r bernilai r < -1 atau r > 1 maka apabila dipangkatkan tak hingga akan menghasilkan bilangan tak hingga ($\pm$). Sehingga diperoleh hasil
$S_{\infty} = \dfrac{a(1\pm \infty)}{1 -r}= $$\pm \infty$

Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan soal dan pembahasan deret geometri tak hingga diberikut!
misal 1
Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 + 2 + ......
Jawab
16 + 8 + 4 + 2 + ......
a = 16
r = $\frac{1}{2}$ ialah deret konvergen
$S_{\infty} = \dfrac{a}{1 - r}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{1 - \frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = \dfrac{16}{\frac{1}{2}}$
$S_{\infty} = 32 $

misal 2
Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya yaitu $\frac{1}{3}$, nilai suku pertamanya yaitu ...
Jawab
$S_{\infty} = 12 $
r = $\frac{1}{3}$
$\dfrac{a}{1 -  \frac{1}{3}} = 12 $
$\dfrac{a}{\frac{2}{3}} = 12 $
$a = 12 \times \frac{2}{3} $
$a = 8$

misal 3
Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya yaitu 8, maka rasionya yaitu ...
Jawab
$S_{\infty} = 24 $
a = 8
$\dfrac{8}{1 -  r} = 24 $
$8 = 24 - 24r$
$ -16 = -24r$
$24r = 16$
$r = \frac{16}{24}$
$r = \frac{2}{3}$

misal 4
Tentukan nilai x semoga deret geometri (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + .... ialah deret konvergen!
Jawab
1 + (x - 2) + (x -2)$^2$ + (x - 2)$^3$ + ....
r = x - 2
Syarat konvergen -1< r < 1
-1 < x - 2< 1
-1 + 2 < x < 1+2
1 < x < 3

misal 5
Jika suku pertama suatu deret geometri tak hingga yaitu a dan jumlahnya 6, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tersebut yaitu ....
Jawab
$S_{\infty} = 6 $
$\dfrac{a}{1 -  r} = 6 $
$a = 6 - 6r$
$a - 6 = -6r$
$r = \dfrac{a - 6}{-6}$
$r = \dfrac{6 - a}{6}$
Karena mempunyai jumlah maka r bernilai -1 < r < 1
$-1 < \dfrac{6 - a}{6} < 1$
$-6 < 6 - a < 6$
$-12 < -a < 0$
$12 > a > 0$ (dikali -1 maka tanda dibalik)
$0 < a < 12$
Jadi, nilai a berada pada interval 0 < a < 12

misal 6
Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Jawab
3 + 6 + 12 + 24 + ...
a = 3
r = 2
Karena nilai r > 1, maka deret ini ialah deret divergen yang jumlah tak hingganya yaitu $\infty$

Suku Genap dan Suku Ganjil Pada Deret Geometri Tak Hingga

Dalam setiap deret tentu mempunyai suku-suku genap dan suku-suku ganjil. Misalkan pada deret
U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
Deret di atas mempunyai deret suku ganjil
U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$ + U$_{7}$ + U$_{9}$ + U$_{11}$ +.......
Dan deret suku genapnya adalah
U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$ + U$_{8}$ + U$_{10}$ + U$_{12}$ +.......
Pada deret geometri tak hingga juga sama yaitu
$S_{\infty} =$ U$_{1}$ + U$_{2}$ + U$_{3}$ + U$_{4}$ + U$_{5}$ + U$_{6}$ +.......
$S_{\infty} =$ (U$_{1}$ + U$_{3}$ + U$_{5}$+.......) + (U$_{2}$ + U$_{4}$ + U$_{6}$+.......)
$S_{\infty} =$ $S_{\infty ganjil}$ + $S_{\infty genap}$
melaluiataubersamaini demikian
$S_{\infty ganjil} = a + ar^{2} + ar^{4} + ar^{6} + .......$
$S_{\infty genap} = ar + ar^{3} + ar^{5} + ar^{7} + .......$

Jika dilihat pada deretnya, deret suku ganjil mempunyai suku pertama U1 atau a dan rasionya yaitu r$^{2}$. melaluiataubersamaini demikian diperoleh rumus jumlah deret tak hingga suku ganjil

$S_{\infty ganjil} = \dfrac{a}{1-r^{2}}$
Sedangkan untuk suku genap mempunyai suku pertama ar dan rasionya r$^{2}$, maka diperoleh rumus jumlah tak hingganya
$S_{\infty genap} = \dfrac{ar}{1-r^{2}}$

Dari dua rumus di atas kita juga mendapat cara untuk menemukan rasio pada deret geometri tak hingga. Apabila diketahui $S_{\infty ganjil}$ sebagai jumlah suku-suku ganjil suatu deret geometri tak hingga dan $S_{\infty genap}$ sebagai jumlah suku-suku genapnya maka perbandingan suku genap dan suku ganjil ialah rasio dari deret geometri tak hingga tersebut. Hal ini sanggup dibuktikan sebagai diberikut
$\dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}} $$= \dfrac{\frac{ar}{1-r^{2}}}{\frac{a}{1-r^{2}}}$
$=\dfrac{ar}{1-r^{2}} \cdot \dfrac{1-r^{2}}{a}$
$= \dfrac{ar}{a}$
$= r$
Jadi, diperoleh cara lain untuk memilih rasio suatu deret geometri tak hingga adalah
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$

Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan soal diberikut

misal 7
Jika jumlah suatu deret geometri tak hingga yaitu 32 dan jumlah tiruana suku genapnya yaitu 18, maka rasio dari deret geometri tersebut yaitu ...
Jawab
$S_{\infty}$ = 32
$S_{\infty genap}$ = 14
$S_{\infty ganjil}$ =32 - 14 = 18
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$
$r = \dfrac{14}{18}$
$r = \dfrac{7}{9}$

misal 8
Jika jumlah tiruana suku deret geometri tak hingga yaitu 96 dan jumlah tiruana sukunya yang ganjil yaitu 64, suku ke-3 deret tersebut adalah...
Jawab
$S_{\infty}$ = 96
$S_{\infty ganjil}$ = 64
$S_{\infty genap}$ = 96 - 64 = 36
$r = \dfrac{S_{\infty genap}}{S_{\infty ganjil}}$

$r = \dfrac{36}{64}$

$r = \dfrac{9}{16}$

$S_{\infty} = 96 $
$\dfrac{a}{1 -  \frac{9}{16}} = 96 $
$\dfrac{a}{\frac{7}{16}} = 96 $
$a = 96 \times \frac{7}{16} $
$a = 42$

$U_{n} = ar^{n-1}$
$U_{3} = 42 (\dfrac{9}{16})^{3-1}$
$U_{3} = 42 (\dfrac{81}{256})$
$U_{3} = \dfrac{1701}{128}$

Penggunaan Deret Geometri Tak Hingga

Penggunaan deret geometri tak hingga salah satunya pada duduk kasus menghitung panjang lintasan dari pantulan bola. Ada dua kondisi duduk kasus yang biasa dipakai dalam soal yaitu bola yang dilempar ke atas dan memantul hingga berhenti dan bola yang dijatuhkan dari atas dan memantul hingga berhenti. Tentu saja hasil yang didapat tidak seakurat menyerupai kenyataanya, namun setidaknya perhitungan ini sudah mendekati.

Bola dilempar ke atas

Misalkan sebuah bola dilempar ke atas dengan ketinggian a dan jatuh memantul r dari tinggi sebelumnya. Jika kondisinya yaitu bola dilempar ke atas dan memantul hingga berhenti, maka panjang lintasannya sanggup kita hitung memakai deret geometri tak hingga. Namun, ada beberaa kondisi yang harus kita pahami terlebih lampau. Apabila bola dilempar ke atas dan memantul hingga berhenti, maka bola akan melewati dua kali lintasan yang sama pada dikala naik dan turun. Sehingga rumus yang dipakai untuk menghitungnya adalah

$PL = 2S_{\infty}$

$PL = 2\dfrac{a}{1-r}$

melaluiataubersamaini 

PL = panjang lintasan bola

Bola dijatuhkan dari atas

Misalkan sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian a dan memantul r dari tinggi sebelumnya. Kasus ini sama saja kita menghitung panjang lintasan bola dilempar namun pada dikala kita tidak ikut menghitung panjang lintasan pada dikala bola dilempar ke atas. Sehingga untuk mendapat panjang lintasan bola yang dijatuhkan kita sanggup memakai rumus

$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$

melaluiataubersamaini 

PL = panjang lintasan bola

Untuk lebih jelasnya perhatikan teladan soal terkena panjang lintasan bola yang memantul hingga berhenti diberikut

misal 9

Sebuah bola tenis meja dilemparkan ke atas dan mencapai ketinggian 4 meter. Setiap bola hingga pada daratan bola memantul tiga perempat kali dari ketinggian sebelumnya. Panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul hingga berhenti yaitu ...

Jawab

$PL = 2\dfrac{a}{1-r}$

$PL = 2\dfrac{4}{1-\frac{3}{4}}$

$PL = 2\dfrac{4}{\frac{1}{4}}$

$PL = 2(4 \cdot \frac{4}{1})$

$PL = 32$ m

Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola tenis meja yang memantul hingga berhenti yaitu 32 m

misal 10

Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 5 meter dan memantul hingga berhenti. Apabila ketinggian yang dicapai dikala memantul tiga per lima kali tinggi sebelumnya, maka panjang lintasan yang dilalui bola pingpong hingga berhenti yaitu ...

Jawab

$PL = 2\dfrac{a}{1-r} - a$

$PL = 2\dfrac{5}{1-\frac{3}{5}} - 5$

$PL = 2\dfrac{5}{\frac{2}{5}} - 5$

$PL = 2(5 \cdot \frac{5}{2}) - 5$

$PL = 25 - 5$

$PL = 20$

Jadi, panjang lintasan yang dilalui bola pingpong hingga berhenti yaitu 20 m

Demikianlah terkena deret geometri tak hingga dan teladan soalnya, semoga bermanfaa

Subscribe to receive free email updates: