Limit Fungsi Trigonometri

Jika anda sudah memahami bahan limit fungsi beserta cara menentukan nilai limit fungsi, baik itu limit aljabar ataupun limit tak hingga. Selanjutnya, bahan yang masih ada kaitanya dengan bahan tersebut yaitu limit fungsi trigonometri. Limit fungsi trigonometri ditandai dengan fungsi dari limit yang ialah fungsi terigonometri. Berikut yaitu beberapa pola limit fungsi terigonometri.

$lim_{x \to \pi} cos 3x$
$lim_{x \to 0} \frac{sin 2x}{x}$
dan masih banyak lagi pola yang lainnya. Untuk memilih nilai suatu limit fungsi trigonometri caranya hampir sama dengan perhitungan limit fungsi aljabar. Dalam beberapa kasus kita sanggup memakai dengan cara substitusi langsung. Berikut yaitu pola soal beserta pembahasanya

misal 1
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} cos^2 x$!
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} cos^2 x = cos^2 (0) $ $ = 1^2 = 1$

misal 2
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sin(2x - \pi)$!
Penyelesaian
$lim_{x \to \frac{\pi}{2}} sin(2x - \pi) = sin (2 \frac{\pi}{2} - \pi)$ $= sin(\pi - \pi)$ $= sin (0)$ $ = 0$

Bagaimana bila ditemukan bentuk limit fungsi trigonometri yang mengahasilkan bentuk tak tentu $(\frac{0}{0})$? Maka, kita sanggup menyederhanakan fungsi trigonometri tersebut terlebih lampau dengan memakai sifat-sifat yang berlaku pada trigonometri. Untuk lebih jelasnya, diberikut ini yaitu beberapa pola soal beserta uraiannya

misal 3
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x}$!
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x}$, bila disubstikan eksklusif maka akan didapat bentuk tak tentu, untuk itu kita harus menyederhanakan terlebih lampau fungsi trigonometrinya
$lim_{x \to 0} \frac{sin x}{sin 2x} $ $ = lim_{x \to 0} \frac{sin x}{2sin x cos x}$
                                $ = lim_{x \to 0} \frac{1}{2cos x}$
                                $ = \frac{1}{2cos (0)}$
                                $ = \frac{1}{2(1)}$
                                $ = \frac{1}{2}$

misal 4
Hitunglah nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos 2x}{sin x}$!
Penyelesaian
Soal di atas, juga akan berakhir pada bentuk tak tentu apabila memakai cara substitusi langsung. Maka sebaiknya diselesaikan dengan cara diberikut
$lim_{x \to 0} \frac{1 - cos 2x}{sin x}$ $ = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2sin^2 x)}{sin x}$
                                $ = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 - 2sin^2 x)}{sin x}$
                                $ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 x)}{sin x}$
                                $ = lim_{x \to 0} 2sin x$
                                $ = 2sin (0)$
                                $ = 2(0)$
                                $ = 0$

Rumus-Rumus Limit Fungsi Trigonometri

Selain mengggunakan cara-cara yang sudah dijelaskan sebelumnya, penyelesaian limit fungsi trigonometri sanggup dilakukan dengan memakai rumus-rumus limit fungsi trigonometri. Rumus-rumus limit fungsi trigonometri tersebut yaitu sebagai diberikut.
$lim_{x \to 0} \frac{sin u}{u} = lim_{x \to 0} \frac{u}{sin u} = 1$
$lim_{x \to 0} \frac{tan u}{u} = lim_{x \to 0} \frac{u}{tan u} = 1$

Pada penerapanya, dalam banyak kasus kita tetap saja perlu memakai sifat-sifat/teorema trigonometri guna megampangkan menuntaskan suatu soal. Agar lebih memahaminya, diberikut ini beberapa pola soal yang dilengkapi penyelesaiannya

misal 5
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x}$
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x} = lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{4x} \times \frac{3}{3}$
                                $ = \frac{3}{4} lim_{x \to 0} \frac{sin 3x}{3x}$
                                $ = \frac{3}{4} (1)$
                                $ = \frac{3}{4}$

misal 6
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x}$
Penyelesaian
$lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x} = lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{tan x} \times \frac{5x}{5x}$
                                $ = \frac{5}{1} lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{5x} \times  \frac{x}{tan x}$
                                $ =5 lim_{x \to 0} \frac{sin 5x}{5x} \times  lim_{x \to 0} \frac{x}{tan x}$
                                $ =5 (1) (1)$
                                $ = 5$

misal 7
Tentukan nilai limit $lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2}$
Penyelesaian
Karena $cos 2x = 1 - 2sin^2 x$, maka $cos 2x = 1 - 2sin^2 \frac{1}{2}x$
$lim_{x \to 0} \frac{1 - cos x}{x^2} = lim_{x \to 0} \frac{1 - (1- 2sin^2 \frac{1}{2}x)}{x^2}$
                                $ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2}$
                                $ = lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{x^2} \times \frac{(\frac{1}{2})^2}{(\frac{1}{2})^2}$
                                $ = (\frac{1}{2})^2 lim_{x \to 0} \frac{2sin^2 \frac{1}{2}x}{(\frac{1}{2}x)^2}$
                                $ = \frac{1}{4} (lim_{x \to 0} \frac{2sin \frac{1}{2}x}{\frac{1}{2}x})^2$
                                $ = \frac{1}{4} (1)^2$
                                $ = \frac{1}{4}$

misal 8
Tentukan nilai limit $lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a}$
Penyelesaian
Bentuk $cos x - cos a = -2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)$ (rumus pengurangan cosinus)
$lim_{x \to a} \frac{cos x - cos a}{x - a} = lim_{x \to a} \frac{-2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x + a)}{x - a}$
                                $ = lim_{x \to a} \frac{-2 sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)}{x - a} \times \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$
                                $ = (-2) (\frac{1}{2}) lim_{x \to a} \frac{ sin \frac{1}{2}(x + a) sin \frac{1}{2}(x - a)}{\frac{1}{2}(x - a)}$
                                $ = - lim_{x \to a} sin \frac{1}{2}(x + a) (1)$
                                $ = - sin \frac{1}{2}(a + a) $
                                $ = - sin a$

Demikianlah tadi terkena limit fungsi trigonometri yang disertai 8 pola soal dan pembahasannya, agar bermanfaa.

Subscribe to receive free email updates: