Menentukan Nilai Limit Fungsi Dan Limit Tak Hingga

Limit fungsi ialah bahan penting sebelum mempelajari Turunan dan Integral. Kata limit sanggup dianalogikan pengertiannya menyerupai kata-kata mendekati, hampir saja, ataupun sdikit lagi. Dalam matematika, misalkan x ialah variabel real dan a ialah konstanta real. Jika variabel x mendekati nilai a, maka proses pendekatan ke nilai a sanggup dipandang dari dua arah yaitu dari kiri ataupun dari kanan. Untuk x mendekati a dari arah kiri, ditulis $x \rightarrow a^{-}$ dan bila dari arah kanan ditulis $x \rightarrow a^{+}$

Untuk lebih jelasnya, simaklah referensi limit fungsi diberikut. Misalkan fungsi f(x) = x + 1 didefinisikan untuk tiruana x bilangan real. Jika x mendekati 2, berapakah nilai f(x)?

Nilai f(x) sanggup ditentukan dengan menghitungnya untuk nilai-nilai x yang mendekati 2 baik dari kiri maupun dari kanan. Hal ini sanggup dilihat dalam tabel diberikut.

melaluiataubersamaini demikian, nilai f(x) mendekati 3 baik dari kiri maupun kanan. melaluiataubersamaini memakai lambang matematika, sanggup dituliskan dengan

$\lim_{x \to 2} (x + 1) = 3$

Berdasarkan uraian di atas limit sanggup didefinisikan sebagai diberikut

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ sanggup diartikan bahwa bila x mendekati a (tetapi x $\neq$ a), maka f(x) mendekati nilai L.

Menentukan Nilai Limit Fungsi

Pengerjaan suatu limit sanggup dilakukan dengan dua cara yaitu substitusi pribadi atau dengan cara memfaktorkan terlebih lampau. Pengerjaan dengan cara memfaktorkan dilakukan apabila sehabis dikerjakan dengan substitusi pribadi menghasilkan bentuk tak tentu ($\farc{0}{0}). Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa referensi  soal diberikut yang sudah disertai dengan pembahasannya

misal 1

Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2} (3x - 1)$!

Penyelesaian

$\lim_{x \to 2} (3x - 1) = 3(2) - 1$ $ = 5$

misal 2

Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2}\sqrt{10-x}$!

Penyelesaian

$\lim_{x \to 1}\sqrt{10-x} = \sqrt{10 - 1}$ $= 3$

misal 3

Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$!

Penyelesaian

$\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{2^2 - 1}{2^2 + 1}$ $ = \frac{3}{5}$

Tiga soal di atas sanggup dikerjakan dengan cara substitusi langsung. Untuk pengerjaan limit dengan cara memfaktorkan, kita harus jeli melihat bentuk-bentuk aljabar yang sanggup difaktorkan dan langkah selanjutnya yaitu menyederhanakanya. Berikut ini akan disajikan referensi soal beserta pembahasan limit dengan cara memfaktorkan

misal 4

Hitunglah nilai $\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}$!

Penyelesaian

$\lim_{x \to 2}\frac{x^2 - 4}{x - 2}= \lim_{x \to 2}\frac{(x + 2)(x - 2)}{x - 2}$ 

                      $=\lim_{x \to 2}(x + 2)$

                      $=(2 + 2)$

                      $=4$

misal 5
Hitunglah nilai $\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}$!
Penyelesaian
$\lim_{x \to 3}\frac{x^2 - x - 6}{x - 3}= \lim_{x \to 3}\frac{(x + 2)(x - 3)}{x - 3}$
                      $=\lim_{x \to 3}(x + 2)$
                      $=(3 + 2)$
                      $=5$

Limit Tak Hingga

Untuk menyatakan keadaan yang tidak sanggup ditentukan besar nilainya, dipakai lambang $\infty$ (dibaca tak hingga). Apabila limit ini dikerjakan secara langsung, maka akan menghasilkan bentuk tak tentu menyerupai $\frac{\infty}{\infty}$ dan $(\infty - \infty)$. Untuk memilih nilai limit yang mendekati tak sampai ini sanggup dilakukan dengan cara diberikut

1. Membagi dengan Pangkat Tertinggi
Sebelumnya harus diketahui terlebih lampau jika
$\lim_{x \to \infty}\frac{1}{x^n} = 0$
Bentuk $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}$, biasanya mempunyai pangkat tertinggi n baik itu dari f(x) maupun g(x). Untuk menuntaskan limit demikian, kita harus membagi setiapsuku dari setiap fungsi dengan $x^n$. Nah, untuk lebih jelasnya kini akan disajikan referensi soal dan pembahasan limit tak hingga

misal 6
Hitunglah nilai limit tak sampai $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 8}$
Penyelesaian
Dari soal terlihat bila variabel mempunyai pangkat tertinggi 2, untuk itu kita harus membagi setiap suku baik pembilang dan penyebut dengan $x^2$
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 - x + 1}{x^2 + 4x - 8} = \lim_{x \to \infty}\frac{2 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x} - \frac{8}{x^2}}$

                      $=\frac{2 - 0 + 0}{1 + 0 -0}$

                      $=2$

misal 7
Hitunglah nilai limit tak sampai $\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 8}$
Penyelesaian
Dari soal terlihat bila variabel mempunyai pangkat tertinggi 3, untuk itu kita harus membagi setiap suku baik pembilang dan penyebut dengan $x^3$
$\lim_{x \to \infty}\frac{2x^2 + 1}{x^3 - 8} = \lim_{x \to \infty}\frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^3}}{1  - \frac{8}{x^3}}$
                      $=\frac{0 + 0}{1 -0}$
                      $=0$

2. Mengalikan dengan Faktor Lawanya
Teknik ini hampir sama dengan merasionalkan bagian dengan penyebut bentuk akar yaitu dengan mengalikan bentuk sekawanya. Meski sudah memakai cara yang kedua ini, kadang-kadang kita juga harus tetap memakai cara membagi dengan pangkat tertnggi untuk langkah lanjutannya. Untuk lebih jelasnya diberikut ini ialah referensi soal beserta pembahasan penyelesaian limit tak sampai denga cara mengalikan dengan faktor lawanya

misal 8
Hitunglah nilai limit tak sampai $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1})$
Penyelesaian
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1}) $ $=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x+ 2}- \sqrt{x + 1}) \times \frac{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$
                      $=\lim_{x \to \infty}\frac{(x+ 2)- (x + 1)}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$
                      $=\lim_{x \to \infty}\frac{1}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$ (bentuk terakhir setiap sukunya akan dibagi dengan $\sqrt{x}$
                     $=\lim_{x \to \infty}\frac{\frac{1}{\sqrt{x}}}{\sqrt{1+ \frac{2}{x}}+ \sqrt{1 + \frac{1}{x}}}$
                     $=\frac{0}{\sqrt{1+ 0}+ \sqrt{1 + 0}}$
                     $=0$

misal 9
Hitunglah nilai limit tak sampai $\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})$
Penyelesaian
$\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})$ $=\lim_{x \to \infty}(\sqrt{x^+ 3x}- \sqrt{x^2 - x})\times \frac{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}$
                      $=\lim_{x \to \infty}\frac{(x^+ 3x)- (x^2 - x)}{\sqrt{x^+ 3x}+ \sqrt{x^2 - x}}$
                      $=\lim_{x \to \infty}\frac{4x}{\sqrt{x+ 2}+ \sqrt{x + 1}}$ (bentuk terakhir setiap sukunya akan dibagi dengan $x$
                     $=\lim_{x \to \infty}\frac{4}{\sqrt{1+ \frac{3}{x}}+ \sqrt{1 - \frac{1}{x}}}$
                     $=\frac{4}{\sqrt{1+ 0}+ \sqrt{1 - 0}}$
                     $=2$

Demikianlah terkena memilih nilai limit fungsi dan limit tak hingga, dalam artikel selanjutnya akan dibahas terkena limit fungsi trigonometri. Semog bermanfaa.

Subscribe to receive free email updates: