Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel
Sistem persamaan nonlinear dua variabel dalam hal ini ialah sistem persamaan nonlinear dua variabel yang sanggup diselesaikan dengan cara yang sama menyerupai sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV). Maka sangat penting memahami cara menuntaskan suatu SPLDV terlebih lampau sebelum menyelesaiakan suatu sistem persamaan nonlinear dua variabel.
Sebelum mengulas cara menuntaskan sistem persamaan nonlinear dua variabel, terlebihlampau kita bahas terkena bentuk-bentuk dari persamaan nonlinear dua variabel itu sendiri. Jika pada persamaan linear dua variabel kita akan mendapat bentuk persamaan yang terdiri dari dua variabel dan masing-masing variabel berderajat satu (berpangkat satu) maka, pada persamaan nonlinear dua variabel kita akan mendapati suatu persamaan yang terdiri dari dua variabel namun pangkat dari variabelnya tidak berpangkat satu lagi. Perhatikan beberapa referensi bentuk persamaan yang sanggup dikategorikan sebagai persamaan nonlinear dua variabel diberikut
$x^{2} + y^{2} = 9$
$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 5$
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 2$
Untuk menuntaskan sistem persamaan nonlinear dua variabel kita sanggup mengubah persamaan nonlinear menjadi persamaan linear dua variabel dengan memisalkannya. Apabila bentuk persamaanya sudah sederhana kita sanggup pribadi menyelesaikanya dengan mengubahnya ke persamaan linear dua variabel. Untuk lebih jelasnya perhatikan referensi soal dan pembahasan diberikut
misal 1
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan diberikut
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ dan $3x^{2} - 2y^{2}=-5$
Penyelesaian
Karena persamaanya cukup sederhana, jadi pribadi saja kita selesaikan
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ .........1)
$3x^{2} - 2y^{2}=-5$ ..........2)
Eliminasi $x^{2}$
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ |x3| $3x^{2} + 9y^{2} = 39$
$3x^{2} - 2y^{2}=-5$ |x1| $3x^{2} - 2y^{2}=-5$
-
$11y^{2} = 44$
$y^{2} = 4$
$y = \pm 2$
Diperoleh dua nilai y yaitu y = 2 dan y = -2
Untuk y = 2
Substitusi y = 2 ke persamaan 1)
$x^{2} + 3(2)^{2} = 13$
$x^{2} + 12 = 13$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
melaluiataubersamaini demikian diperoleh penyelesaian (1, 2) dan (-1, 2)
Untuk y = -2
$x^{2} + 3(-2)^{2} = 13$
$x^{2} + 12 = 13$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
melaluiataubersamaini demikian diperoleh penyelesaian (1, -2) dan (-1, -2)
Jadi, himpunanan penyelesaiannya ialah {(1, 2), (-1, 2), (1, -2), (-1, -2)}
misal 2
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ dan $\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 5$ ialah ....
Penyelesaian
$\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ .....1)
$\frac{4}{x}+ \frac{3}{y} = 5$ .......................2)
Eliminasi $\frac{1}{y}$
$\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ |x3| $\frac{9}{x} - \frac{6}{y} = -\frac{3}{2}$
$\frac{4}{x}+ \frac{3}{y} = 5$ |x2|$\frac{8}{x}+ \frac{6}{y} = 10$
+
$\frac{17}{x} = \frac{17}{2}$
$17 \cdot 2 = 17 \cdot x$
$34 = 17x$
$x = 2$
Substitusi x = 2 ke 2)
$\frac{4}{2}+ \frac{3}{y} = 5$
$2+ \frac{3}{y} = 5$
$ \frac{3}{y} = 3$
$3 = 3y$
$y = 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 1)}
misal 3
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ dan $3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ ialah ....
Penyelesaian
$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ .....1)
$3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ ......2)
Eliminasi $\sqrt{y}$
$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ |x1|$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$
$3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ |x2|$6\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = 6$
-
$-5\sqrt{x+1}=-10$
$\sqrt{x + 1} = 2$
$x + 1 = 4$
$x = 3$
Substitusi x = 3 ke 1)
$\sqrt{3+1} - 2\sqrt{y} = -4$
$\sqrt{4} - 2\sqrt{y} = -4$
$2 - 2\sqrt{y} = -4$
$- 2\sqrt{y} = -6$
$\sqrt{y} = 3$
$y = 9$
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(3, 9)}
misal 4
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\frac{1}{x+2} + \frac{3}{y+1} = 1\frac{1}{4}$ dan $\frac{2}{x+2} + \frac{5}{y+1} = 2\frac{1}{6}$ ialah ....
Penyelesaian
Karena persamaannya cukup kompleks, kita selesaikan soal di atas dengan memakai pemisalan
$m = \frac{1}{x+2}$
$n = \frac{1}{y + 1}$
$\frac{1}{x+2} + \frac{3}{y+1} = 1\frac{1}{4}$
$\frac{2}{x+2} + \frac{5}{y+1} = 2\frac{1}{6}$
atau sanggup ditulis menjadi
$m + 3n = \frac{5}{4}$ ....1)
$2m + 5n = \frac{13}{6}$ ....2)
Eliminasi m
$m + 3n = \frac{5}{4}$ |x2|$2m + 6n = \frac{5}{2}$
$2m + 5n = \frac{13}{6}$|x1|$2m + 5n = \frac{13}{6}$
-
$n = \frac{2}{6}$
$ \frac{1}{y + 1} = \frac{2}{6}$
$6 = 2y + 2$
$4 = 2y$
$y = 2$
Eliminasi n
$m + 3n = \frac{5}{4}$ |x5|$5m + 15n = \frac{25}{4}$
$2m + 5n = \frac{13}{6}$|x3|$6m + 15n = \frac{13}{2}$
-
$-m = -\frac{1}{4}$
$ \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$
$4 = x + 2$
$2 = x$
$x = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 2)}
Nah, kini cobalah soal-soal sistem persamaan nonlinear dua variabel diberikut ini
Soal Latihan
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan nonlinear dua variabel diberikut!
1. $2x^{2} - y^{2} = 7$ dan $3x^{2} + 2y^{2}= 14$
2. $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{20}$ dan $\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{10}$
3. $3\sqrt{x} - 2\sqrt{y-1} = 10$ dan $2\sqrt{x} - \sqrt{y-1} = 6$
4. $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y-1} = 1\frac{1}{6}$ dan $\frac{6}{x-1} + \frac{4}{y-1} = 1\frac{2}{3}$
5. $\dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{\sqrt{y}} = 2\dfrac{1}{6}$ dan $\dfrac{5}{\sqrt{x}} - \dfrac{6}{\sqrt{y}} = -1\dfrac{1}{3}$
Demikianlah terkena menuntaskan sistem persamaan nonlinear dua variabel, agar sanggup dipahami dan bermanfaa.
Sebelum mengulas cara menuntaskan sistem persamaan nonlinear dua variabel, terlebihlampau kita bahas terkena bentuk-bentuk dari persamaan nonlinear dua variabel itu sendiri. Jika pada persamaan linear dua variabel kita akan mendapat bentuk persamaan yang terdiri dari dua variabel dan masing-masing variabel berderajat satu (berpangkat satu) maka, pada persamaan nonlinear dua variabel kita akan mendapati suatu persamaan yang terdiri dari dua variabel namun pangkat dari variabelnya tidak berpangkat satu lagi. Perhatikan beberapa referensi bentuk persamaan yang sanggup dikategorikan sebagai persamaan nonlinear dua variabel diberikut
$x^{2} + y^{2} = 9$
$\frac{1}{x} + \frac{2}{y} = 5$
$\sqrt{x} + \sqrt{y} = 2$
Untuk menuntaskan sistem persamaan nonlinear dua variabel kita sanggup mengubah persamaan nonlinear menjadi persamaan linear dua variabel dengan memisalkannya. Apabila bentuk persamaanya sudah sederhana kita sanggup pribadi menyelesaikanya dengan mengubahnya ke persamaan linear dua variabel. Untuk lebih jelasnya perhatikan referensi soal dan pembahasan diberikut
misal 1
Tentukan penyelesaian dari sistem persamaan diberikut
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ dan $3x^{2} - 2y^{2}=-5$
Penyelesaian
Karena persamaanya cukup sederhana, jadi pribadi saja kita selesaikan
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ .........1)
$3x^{2} - 2y^{2}=-5$ ..........2)
Eliminasi $x^{2}$
$x^{2} + 3y^{2} = 13$ |x3| $3x^{2} + 9y^{2} = 39$
$3x^{2} - 2y^{2}=-5$ |x1| $3x^{2} - 2y^{2}=-5$
-
$11y^{2} = 44$
$y^{2} = 4$
$y = \pm 2$
Diperoleh dua nilai y yaitu y = 2 dan y = -2
Untuk y = 2
Substitusi y = 2 ke persamaan 1)
$x^{2} + 3(2)^{2} = 13$
$x^{2} + 12 = 13$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
melaluiataubersamaini demikian diperoleh penyelesaian (1, 2) dan (-1, 2)
Untuk y = -2
$x^{2} + 3(-2)^{2} = 13$
$x^{2} + 12 = 13$
$x^{2} = 1$
$x = \pm 1$
melaluiataubersamaini demikian diperoleh penyelesaian (1, -2) dan (-1, -2)
Jadi, himpunanan penyelesaiannya ialah {(1, 2), (-1, 2), (1, -2), (-1, -2)}
misal 2
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ dan $\frac{4}{x} - \frac{3}{y} = 5$ ialah ....
Penyelesaian
$\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ .....1)
$\frac{4}{x}+ \frac{3}{y} = 5$ .......................2)
Eliminasi $\frac{1}{y}$
$\frac{3}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{2}$ |x3| $\frac{9}{x} - \frac{6}{y} = -\frac{3}{2}$
$\frac{4}{x}+ \frac{3}{y} = 5$ |x2|$\frac{8}{x}+ \frac{6}{y} = 10$
+
$\frac{17}{x} = \frac{17}{2}$
$17 \cdot 2 = 17 \cdot x$
$34 = 17x$
$x = 2$
Substitusi x = 2 ke 2)
$\frac{4}{2}+ \frac{3}{y} = 5$
$2+ \frac{3}{y} = 5$
$ \frac{3}{y} = 3$
$3 = 3y$
$y = 1$
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 1)}
misal 3
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ dan $3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ ialah ....
Penyelesaian
$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ .....1)
$3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ ......2)
Eliminasi $\sqrt{y}$
$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$ |x1|$\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = -4$
$3\sqrt{x+1} - \sqrt{y} = 3$ |x2|$6\sqrt{x+1} - 2\sqrt{y} = 6$
-
$-5\sqrt{x+1}=-10$
$\sqrt{x + 1} = 2$
$x + 1 = 4$
$x = 3$
Substitusi x = 3 ke 1)
$\sqrt{3+1} - 2\sqrt{y} = -4$
$\sqrt{4} - 2\sqrt{y} = -4$
$2 - 2\sqrt{y} = -4$
$- 2\sqrt{y} = -6$
$\sqrt{y} = 3$
$y = 9$
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(3, 9)}
misal 4
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan $\frac{1}{x+2} + \frac{3}{y+1} = 1\frac{1}{4}$ dan $\frac{2}{x+2} + \frac{5}{y+1} = 2\frac{1}{6}$ ialah ....
Penyelesaian
Karena persamaannya cukup kompleks, kita selesaikan soal di atas dengan memakai pemisalan
$m = \frac{1}{x+2}$
$n = \frac{1}{y + 1}$
$\frac{1}{x+2} + \frac{3}{y+1} = 1\frac{1}{4}$
$\frac{2}{x+2} + \frac{5}{y+1} = 2\frac{1}{6}$
atau sanggup ditulis menjadi
$m + 3n = \frac{5}{4}$ ....1)
$2m + 5n = \frac{13}{6}$ ....2)
Eliminasi m
$m + 3n = \frac{5}{4}$ |x2|$2m + 6n = \frac{5}{2}$
$2m + 5n = \frac{13}{6}$|x1|$2m + 5n = \frac{13}{6}$
-
$n = \frac{2}{6}$
$ \frac{1}{y + 1} = \frac{2}{6}$
$6 = 2y + 2$
$4 = 2y$
$y = 2$
Eliminasi n
$m + 3n = \frac{5}{4}$ |x5|$5m + 15n = \frac{25}{4}$
$2m + 5n = \frac{13}{6}$|x3|$6m + 15n = \frac{13}{2}$
-
$-m = -\frac{1}{4}$
$ \frac{1}{x + 2} = \frac{1}{4}$
$4 = x + 2$
$2 = x$
$x = 2$
Jadi, himpunan penyelesaiannya ialah {(2, 2)}
Nah, kini cobalah soal-soal sistem persamaan nonlinear dua variabel diberikut ini
Soal Latihan
Tentukanlah himpunan penyelesaian dari sistem persamaan nonlinear dua variabel diberikut!
1. $2x^{2} - y^{2} = 7$ dan $3x^{2} + 2y^{2}= 14$
2. $\frac{1}{x} - \frac{1}{y} = -\frac{1}{20}$ dan $\frac{2}{x} - \frac{2}{y} = -\frac{1}{10}$
3. $3\sqrt{x} - 2\sqrt{y-1} = 10$ dan $2\sqrt{x} - \sqrt{y-1} = 6$
4. $\frac{1}{x-1} + \frac{2}{y-1} = 1\frac{1}{6}$ dan $\frac{6}{x-1} + \frac{4}{y-1} = 1\frac{2}{3}$
5. $\dfrac{2}{\sqrt{x}} + \dfrac{3}{\sqrt{y}} = 2\dfrac{1}{6}$ dan $\dfrac{5}{\sqrt{x}} - \dfrac{6}{\sqrt{y}} = -1\dfrac{1}{3}$
Demikianlah terkena menuntaskan sistem persamaan nonlinear dua variabel, agar sanggup dipahami dan bermanfaa.
0 Response to "Menyelesaikan Sistem Persamaan Nonlinear Dua Variabel"
Posting Komentar