Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dalam Sinus, Cosinus, Dan Tangen
Persamaan kuadrat yakni suatu persamaan yang mempunyai derajat (orde) dua. Persamaan kuadrat yang biasanya kita temukan dalam bentuk ax$^2$ + bx + c = 0, sanggup kita temukan dalam bentuk logaritma, bahkan dalam bentuk perbandingan trigonometri yaitu sinus (sin), cosinus (cos) dan tangen (tan). Nah, kali ini kita akan mengulas persamaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Sama dengan persamaan kuadrat pada umumnya, persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri sanggup diselesaikan dengan tiga cara yaitu memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna, dan rumus kuadrat atau yang lebih dikenal dengan rumus abc.
Bentuk umum persamaan kuadrat dalam bentuk sinus, kosinus, dan tangen sanggup berbentuk sebagai diberikut.
asin$^2$x$^o$ + bsin$^o$ + c = 0
acos$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0
atan$^2$x$^o$ + btan$^o$ + c = 0
Untuk menuntaskan persamaan-persamaan kuadrat di atas, langkah pertama yakni dengan membuat pemisalan untuk perbandingan trigonometrinya. Kita misalkan saja dengan p, maka bentuk umum persmaan kuadrat di atas akan menjadi ap$^2$ + bp + c = 0 baik untuk sinus, cosinus maupun tangen. Kemudian kita tentukan nilai p yang memenuhi. Sesudah didapat nilai p, kita kembalikan p menjadi perbendingan trigonometri dan kita akan memperoleh persamaan trigonometri sederhana. Terakhir kita selesaikan persmaan tersebut dengan cara yang sanggup di baca pada artikel ini.
Namun, sebelum memilih penyelesaian dari persmaan kuadrat di atas, ada syarat yang harus dipenuhi semoga persamaan kuadrat di atas mempunyai penyelesaian. Untuk persamaan kuadrat dalam sinus dan cosinus, ada dua syarat yang harus dipenuhi yaitu
- Syarat perlu, D ≥ 0
- Syarat cukup, -1 ≤ p ≤ 1
Sedangkan, untuk persamaan kuadrat dalam tangen, spesialuntuk memerlukan satu syarat yang harus dipenuhi yaitu
Syarat perlu, D ≥ 0
melaluiataubersamaini D yakni diskriminan yang nilainya sanggup ditentukan dengan D = b$^2$ - 4ac
Sebagai contoh, apakah sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 mempunyai penyelesaian?
Penyelesaian
Misalkan sinx$^o$ = p, maka persamaanya sanggup dtulis menjadi
p$^2$ + 7p + 12 = 0
D = b$^2$ - 4ac
D = 7$^2$ - 4(1)(12)
D = 49 - 48
D = 1 (D > 0, syarat perlu terpenuhi)
p$^2$ + 7p + 12 = 0
Sebagai contoh, apakah sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 mempunyai penyelesaian?
Penyelesaian
Misalkan sinx$^o$ = p, maka persamaanya sanggup dtulis menjadi
p$^2$ + 7p + 12 = 0
D = b$^2$ - 4ac
D = 7$^2$ - 4(1)(12)
D = 49 - 48
D = 1 (D > 0, syarat perlu terpenuhi)
p$^2$ + 7p + 12 = 0
(p + 4)(p + 3) = 0
p + 4 = 0 atau p + 3 = 0
p = -4 p = -3
Nilai p < -1 (Syarat cukup tidak terpenuhi)
Maka, sanggup disimpulkan jikalau persamaan sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 tidak mempunyai penyelesaian.
Jika sudah memahami syarat tersebut, kini kita lanjutkan dengan pola soal persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri yang sanggup diselesaikan.
misal 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos$^2$x$^o$ - cos$^o$ - 2 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!
Penyelesaian
Misalkan cosx$^o$ = p maka persamaanya sanggup ditulis menjadi
p$^2$ - p - 2 = 0
(p + 1)(p - 2) = 0
p = -1 atau p = 2
Jika p = -1, maka
cosx$^o$ = -1
cosx$^o$ = cos 180$^o$
Untuk, x = 180$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 180$^o$ + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Untuk, x = -180$^o$ + k × 360$^o$
k = 1 → x = -180$^o$ + 1 × 360$^o$ = 180$^o$
Jika p = -2, maka tidak memenuhi sebab p < -1 (syarat cukup tidak terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya yakni {180$^o$}
Selain, bentuk-bentuk persamaan, menyerupai di atas ada beberapa perkara yang mengharuskan kita untuk mengubah suatu persmaan trigonometri yang sanggup diubah menjadi persmaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Untuk mempergampang mengubah persmaan yang demikian maka kita sanggup memakai beberapa rumus trigonometri diberikut.
misal 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!
Penyelesaian
cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
1 - 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
- 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ = 0
- sin x$^o$ (2sin x$^o$ + 3) = 0
(tidak dilakukan pemisalan p, sebab persamaan sudah sederhana)
-sin x$^o$ = 0 atau 2sin x$^o$ + 3 = 0
Maka, sanggup disimpulkan jikalau persamaan sin$^2$x$^o$ + 7sin$^o$ + 12 = 0 tidak mempunyai penyelesaian.
Jika sudah memahami syarat tersebut, kini kita lanjutkan dengan pola soal persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri yang sanggup diselesaikan.
misal 1
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos$^2$x$^o$ - cos$^o$ - 2 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!
Penyelesaian
Misalkan cosx$^o$ = p maka persamaanya sanggup ditulis menjadi
p$^2$ - p - 2 = 0
(p + 1)(p - 2) = 0
p = -1 atau p = 2
Jika p = -1, maka
cosx$^o$ = -1
cosx$^o$ = cos 180$^o$
Untuk, x = 180$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 180$^o$ + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Untuk, x = -180$^o$ + k × 360$^o$
k = 1 → x = -180$^o$ + 1 × 360$^o$ = 180$^o$
Jika p = -2, maka tidak memenuhi sebab p < -1 (syarat cukup tidak terpenuhi)
Jadi, penyelesaiannya yakni {180$^o$}
Selain, bentuk-bentuk persamaan, menyerupai di atas ada beberapa perkara yang mengharuskan kita untuk mengubah suatu persmaan trigonometri yang sanggup diubah menjadi persmaan kuadrat dalam sinus, cosinus, dan tangen. Untuk mempergampang mengubah persmaan yang demikian maka kita sanggup memakai beberapa rumus trigonometri diberikut.
- sin x$^o$ = $\frac{1}{cosec x^o}$
- cos x$^o$ = $\frac{1}{sec x^o}$
- tan x$^o$ = $\frac{1}{tan x^o}$
- tan x$^o$ = $\frac{sin x^o}{cos x^o}$
- cot x$^o$ = $\frac{cos x^o}{sin x^o}$
- sin$^2$x$^o$ + cos$^2$x$^o$ = 1
- 1 + tan$^2$ x$^o$ = sec$^2$ x$^o$
- 1 + cot$^2$ x$^o$ = cosec$^2$ x$^o$
- sin 2x$^o$ = 2sin x$^o$cos x$^o$
- cos 2x$^o$ = cos$^2$ x$^o$ - sin$^2$ x$^o$
- cos 2x$^o$ = 1 - 2sin$^2$ x$^o$
- cos 2x$^o$ = 2cos$^2$ x$^o$ - 1
- tan 2x$^o$ = $\frac{2tan x^o}{1 - tan^2 x^o}$
misal 2
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!
Penyelesaian
cos 2x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
1 - 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ - 1 = 0
- 2sin$^2$ x$^o$ - 3sin x$^o$ = 0
- sin x$^o$ (2sin x$^o$ + 3) = 0
(tidak dilakukan pemisalan p, sebab persamaan sudah sederhana)
-sin x$^o$ = 0 atau 2sin x$^o$ + 3 = 0
sin x$^o$ = 0 sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$
Jika, sin x$^o$ = 0 maka sin x$^o$ = 0$^o$
Untuk, x = 0$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 0$^o$ + 0 × 360$^o$ = 0$^o$
k = 1 → x = 0$^o$ + 1 × 360$^o$ = 360$^o$
Untuk, x = (180$^o$ - 0$^o$) + k × 360$^o$
k = 0 → x =(180$^o$ - 0$^o$) + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Jika sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$, persamaan tidak mempunyai penyelesaian sebab sin x$^o$ < -1
Jadi, himpunan penyelesaianya yakni {0$^o$, 180$^o$, 360$^o$}
misal 3
Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 2๐น!
Penyelesaian
2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - (1 - 2sin$^2$ x$^o$) = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - cos$^2$ 2x$^o$ = 0
cos 2x$^o$(2cos 2x$^o$ - 1) = 0
cos 2x$^o$ = 0 atau cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$
Jika cos 2x$^o$ = 0 maka cos 2x$^o$ = $\frac{๐น}{2}$
Untuk 2x = $\frac{๐น}{2}$ + k × 2๐น atau x = $\frac{๐น}{4}$ + k × ๐น
k = 0 → x = $\frac{๐น}{4}$ + 0 × ๐น = $\frac{๐น}{4}$
k = 1 → x = $\frac{๐น}{4}$ + 1 × ๐น = $\frac{5๐น}{4}$
Untuk 2x = -$\frac{๐น}{2}$ + k × 2๐น atau x = -$\frac{๐น}{4}$ + k × ๐น
k = 1 → x = -$\frac{๐น}{4}$ + 1 × ๐น = $\frac{3๐น}{4}$
k = 2 → x = -$\frac{๐น}{4}$ + 2 × ๐น = $\frac{7๐น}{4}$
Jika cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$ maka cos 2x$^o$ = $\frac{๐น}{3}$
Untuk 2x = $\frac{๐น}{3}$ + k × 2๐น atau x = $\frac{๐น}{6}$ + k × ๐น
k = 0 → x = $\frac{๐น}{6}$ + 0 × ๐น = $\frac{๐น}{6}$
k = 1 → x = $\frac{๐น}{6}$ + 1 × ๐น = $\frac{7๐น}{6}$
Untuk 2x = -$\frac{๐น}{3}$ + k × 2๐น atau x = -$\frac{๐น}{6}$ + k × ๐น
k = 1 → x = -$\frac{๐น}{6}$ + 1 × ๐น = $\frac{5๐น}{6}$
k = 2 → x = -$\frac{๐น}{6}$ + 2 × ๐น = $\frac{11๐น}{6}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni {$\frac{๐น}{6}$, $\frac{๐น}{4}$, $\frac{3๐น}{4}$, $\frac{5๐น}{6}$, $\frac{7๐น}{6}$, $\frac{5๐น}{4}$, $\frac{7๐น}{4}$, $\frac{11๐น}{6}$}
misal 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!
Jika, sin x$^o$ = 0 maka sin x$^o$ = 0$^o$
Untuk, x = 0$^o$ + k × 360$^o$
k = 0 → x = 0$^o$ + 0 × 360$^o$ = 0$^o$
k = 1 → x = 0$^o$ + 1 × 360$^o$ = 360$^o$
Untuk, x = (180$^o$ - 0$^o$) + k × 360$^o$
k = 0 → x =(180$^o$ - 0$^o$) + 0 × 360$^o$ = 180$^o$
Jika sin x$^o$ = -$\frac{3}{2}$, persamaan tidak mempunyai penyelesaian sebab sin x$^o$ < -1
Jadi, himpunan penyelesaianya yakni {0$^o$, 180$^o$, 360$^o$}
misal 3
Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 2๐น!
Penyelesaian
2cos$^2$ 2x$^o$ + 2sin$^2$ x$^o$ - 1 = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - (1 - 2sin$^2$ x$^o$) = 0
2cos$^2$ 2x$^o$ - cos$^2$ 2x$^o$ = 0
cos 2x$^o$(2cos 2x$^o$ - 1) = 0
cos 2x$^o$ = 0 atau cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$
Jika cos 2x$^o$ = 0 maka cos 2x$^o$ = $\frac{๐น}{2}$
Untuk 2x = $\frac{๐น}{2}$ + k × 2๐น atau x = $\frac{๐น}{4}$ + k × ๐น
k = 0 → x = $\frac{๐น}{4}$ + 0 × ๐น = $\frac{๐น}{4}$
k = 1 → x = $\frac{๐น}{4}$ + 1 × ๐น = $\frac{5๐น}{4}$
Untuk 2x = -$\frac{๐น}{2}$ + k × 2๐น atau x = -$\frac{๐น}{4}$ + k × ๐น
k = 1 → x = -$\frac{๐น}{4}$ + 1 × ๐น = $\frac{3๐น}{4}$
k = 2 → x = -$\frac{๐น}{4}$ + 2 × ๐น = $\frac{7๐น}{4}$
Jika cos 2x$^o$ = $\frac{1}{2}$ maka cos 2x$^o$ = $\frac{๐น}{3}$
Untuk 2x = $\frac{๐น}{3}$ + k × 2๐น atau x = $\frac{๐น}{6}$ + k × ๐น
k = 0 → x = $\frac{๐น}{6}$ + 0 × ๐น = $\frac{๐น}{6}$
k = 1 → x = $\frac{๐น}{6}$ + 1 × ๐น = $\frac{7๐น}{6}$
Untuk 2x = -$\frac{๐น}{3}$ + k × 2๐น atau x = -$\frac{๐น}{6}$ + k × ๐น
k = 1 → x = -$\frac{๐น}{6}$ + 1 × ๐น = $\frac{5๐น}{6}$
k = 2 → x = -$\frac{๐น}{6}$ + 2 × ๐น = $\frac{11๐น}{6}$
Jadi, himpunan penyelesaiannya yakni {$\frac{๐น}{6}$, $\frac{๐น}{4}$, $\frac{3๐น}{4}$, $\frac{5๐น}{6}$, $\frac{7๐น}{6}$, $\frac{5๐น}{4}$, $\frac{7๐น}{4}$, $\frac{11๐น}{6}$}
misal 4
Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!
Penyelesaian
tan x$^o$ + cot x$^o$ = -2
tan x$^o$ + $\frac{1}{tan x^o}$ = -2
tan$^2$ x$^o$ + 1 = -2tan x$^o$
tan$^2$ x$^o$ + 2tan x$^o$ + 1 = 0
(tan x$^o$ + 1)$^2$ = 0
tan x$^o$ + 1 = 0
tan x$^o$ = -1
tan x$^o$ = 135$^o$
x = 135$^o$ + k × 180$^o$
k = 0 → x = 135$^o$ + 0 × 180$^o$ = 135$^o$
k = 1 → x = 135$^o$ + 1 × 180$^o$ = 315$^o$
Jadi, himpunan penyelesaianya yakni {135$^o$, 315$^o$}
Demikianlah tadi terkena Menyelesaikan Persamaan Kuadrat dalam Sinus, Kosinus, dan Tangen, semoga bermanfaa.
0 Response to "Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Dalam Sinus, Cosinus, Dan Tangen"
Posting Komentar